Tantárgy neve: Parciális differenciálegyenletek

Tantárgy heti óraszáma: 3

kreditértéke: 3

tantárgyfelelős neve: dr. Faragó István, docens

tanszéke:ELTE Alkalmazott Analízis Tanszék

számonkérés rendje: Kollokvium + gyakorlati jegy

előtanulmányi feltétel: Matematika kritériumtárgy

Az elsajátítandó ismeretanyag rövid (néhány soros) leírása:

A parciális differenciálegyenletek fogalma, típusai. Elsőrendű homogén lineáris egyenletek általános megoldása. Első integrál. Elsőrendű kvázilineáris egyenletek általános megoldása.

Másodrendű lineáris egyenletek osztályozása és kanonikus alakja. Fizikai alappéldák (rezgő húr, hullámegyenlet, hővezetés). Parabolikus Cauchy-feladatok értelmezése és megoldása. A homogén feladat megoldása integrálalakban. Duhamel-elv Hiperbolikus Cauchy-feladatok értelmezése, a homogén egyenlet megoldása 1, 2 és 3 térdimenzióban, az általános feladat megoldása és unicitás . Hilbert-terek fogalma és alaptulajdonságai. Ortogonalitás, ortogonális rendszerek és Fourier-sorok Hilbert-térben. Szimmetrikus operátorok Hilbert-térben, sajátértékek. Elliptikus peremértékfeladatok értelmezése, Green-formula. Az elliptikus operátorok tulajdonságai, a peremértékfeladatok megoldásának unicitása.

A sajátértékprobléma megfogalmazása, a sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai. A sajátértékek és sajátfüggvények meghatározása Fourier-módszerrel (a változók szétválasztásának módszerével) téglalapon, ill. körlapon. Bessel-függvények. A sajátfüggvényekből alkotott teljes ortonormált függvényrendszerek, a megoldás sorfejtése.

A Poisson-egyenlet speciális megoldásai. Alapmegoldás, Green-függvény.

A Laplace-egyenlet speciális megoldásai, gömbfüggvények értelmezése, sorfejtés gömbfüggvények szerint.

Parabolikus és hiperbolikus vegyes feladatok megoldása sorfejtéssel.

Laplace-és Fourier-transzformált értelmezése, alaptulajdonságai és néhány alkalmazása.

A wavelet-analízis elemei.

Kötelező irodalom:

Czách L., Simon L.: Parciális differenciálegyenletek (Tankönyvkiadó, 1971)